Question

已知（1+3x）ⁿ的展開式中，末三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和等于121．
（1）求展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)；
（2）求展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)．

Answer 1

解：由題意，∵末三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)分別為C_n^n-2，C_n^n-1，C_nⁿ
∴C_n^n-2+C_n^n-1+C_nⁿ=121
∴C_n²+C_n¹+C_n⁰=121即n²+n-240=0
∴n=15或n=-16（舍）
（1）當(dāng)n=8或9時(shí)，展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大為C₁₅⁷=C₁₅⁸=12870
（2）T_r+1=C₁₅^r（3x）^r=C₁₅^r3^rx^r
設(shè)第r+1項(xiàng)與第r項(xiàng)的系數(shù)分別為t_r+1，t_r
令t_r+1=C₁₅^r3^r，t_r=C₁₅^r-13^r-1
∴t_r+1≥t_r則可得3（15-r+1）＞r解得r≤12
∴當(dāng)r取小于12的自然數(shù)時(shí)，都有t_r＜t_r+1
當(dāng)r=12時(shí)，t_r+1=t_r
∴展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)為T₁₂=C₁₅¹¹3¹¹x¹¹和T₁₃=C₁₅¹²3¹²x¹²
分析：（1）根據(jù)展開式中，末三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和等于121，利用二項(xiàng)式系數(shù)為C_n^r，列出方程求出n值，由于n為奇數(shù)，故可知展開式的中間兩項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)最大．
（2）利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式求出第r+1項(xiàng)，利用展開式中最大的系數(shù)大于它前面的系數(shù)同時(shí)大于它后面的系數(shù)求出展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)．
點(diǎn)評：本題以二項(xiàng)式為載體，考查考展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)，考查二項(xiàng)展開式中的系數(shù)最大的項(xiàng)的求法，利用最大的系數(shù)大于它前面的系數(shù)同時(shí)大于它后面的系數(shù)是求二項(xiàng)展開式中的系數(shù)最大的項(xiàng)的關(guān)鍵