Question

設平面直角坐標中，O為原點，N為動點，||=6，|=•，過點M作MM₁⊥y軸于M₁，過N作NN₁丄x軸于點N₁，=+，記點R的軌跡為曲線C．
（I）求曲線C的方程；
（II ）已知直線L與雙曲線C₁：5x²-y²=36的右支相交于P、Q兩點（其中點P在第一象限），線段OP交軌跡C于A，若=3，
S_△PAQ=-26tan∠PAQ，求直線L的方程．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）設T（x，y），點N（x₁，y₁），則N₁（x₁，0），由題意可=（x₁，y₁），從而可求M₁（0，y₁）由=，利用向量的坐標表示可得．代入||=6可求曲線方程
（Ⅱ）設A（m，n），由及P在第一象限得P（3m，3n），m＞0，n＞0及A∈C，P∈C₁可得5m²+n²=36，5m²-n²=4可求A，P，設Q（x，y）則5x²-y²=36．及S=-26tan∠PAQ可求點Q，由P，Q得直線l的方程
解答：解：（Ⅰ）設T（x，y），點N（x₁，y₁），則N₁（x₁，0）．
又，即=（x₁，y₁），
∴M₁（0，y₁），=（x₁，0），
=（0，y₁）． （3分）
于是==（x₁，y₁），（4分）
即（x，y）=（x₁，y₁）．代入||=6，得5x²+y²=36．
所求曲線C的軌跡方程為5x²+y²=36．（6分）
（Ⅱ）設A（m，n）由及P在第一象限得P（3m，3n），m＞0，n＞0
∵A∈C，P∈C₁∴5m²+n²=36，5m²-n²=4解得m=2，n=4
即A（2，4），P（6，12）（8分），
設Q（x，y）則5x²-y²=36．①
由S=-26tan∠PAQ得，
，即x+2y+3=0．②（10分）
聯立①，②，解得或因點Q在雙曲線C₁的右支，
故點Q的坐標為（3，-3）（11分）
由P（6，12），Q（3，-3）得直線l的方程為即5x-y-18=0（12分）
點評：本題主要考查了利用向量的基本運算為載體，考查圓錐曲線的方程的求解及直線與曲線相交求解交點的問題，解題的關鍵是要熟練應用向量的基本運算，及較強的計算推理的能力．