Question

（2011•自貢三模）設(shè)平面直角坐標中，O為原點，N為動點，|

ON

|=6，|

ON

=

5

•

OM

，過點M作MM₁⊥y軸于M₁，過N作NN₁丄x軸于點N₁，

OT

=

MM1

+

NN1

，記點R的軌跡為曲線C．
（I）求曲線C的方程；
（II ）已知直線L與雙曲線C₁：5x²-y²=36的右支相交于P、Q兩點（其中點P在第一象限），線段OP交軌跡C于A，若

OP

=3

OA

，
S_△PAQ=-26tan∠PAQ，求直線L的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設(shè)T（x，y），點N（x₁，y₁），則N₁（x₁，0），由題意可

OM

=

1

5

ON

=（

1

5

x₁，

1

5

y₁），從而可求M₁（0，

1

5

y₁）由

OT

=

M1M

+

N1N

，利用向量的坐標表示可得．

x1= 5 x y1=y

代入|

ON

|=6可求曲線方程
（Ⅱ）設(shè)A（m，n），由

OP

=3

OA

及P在第一象限得P（3m，3n），m＞0，n＞0及A∈C，P∈C₁可得5m²+n²=36，5m²-n²=4可求A，P，設(shè)Q（x，y）則5x²-y²=36．及S=-26tan∠PAQ可求點Q，由P，Q得直線l的方程

解答：解：（Ⅰ）設(shè)T（x，y），點N（x₁，y₁），則N₁（x₁，0）．
又

ON

=

5

OM

，即

OM

=

1

5

ON

=（

1

5

x₁，

1

5

y₁），
∴M₁（0，

1

5

y₁），

M1M

=（

1

5

x₁，0），

N1N

=（0，y₁）．　　　　　　　（3分）
于是

OT

=

M1M

+

N1N

=（

1

5

x₁，y₁），（4分）
即（x，y）=（

1

5

x₁，y₁）．

x1= 5 x y1=y

代入|

ON

|=6，得5x²+y²=36．
所求曲線C的軌跡方程為5x²+y²=36．（6分）
（Ⅱ）設(shè)A（m，n）由

OP

=3

OA

及P在第一象限得P（3m，3n），m＞0，n＞0
∵A∈C，P∈C₁∴5m²+n²=36，5m²-n²=4解得m=2，n=4
即A（2，4），P（6，12）（8分），
設(shè)Q（x，y）則5x²-y²=36．①
由S=-26tan∠PAQ得，

1

2

AP•AQsin∠PAQ=-26tan∠PAQ

AQ

•

AP

=4(x-2)+8(y-4)=-52，即x+2y+3=0．②（10分）
聯(lián)立①，②，解得

x=- 51 19 y=- 3 19

或

x=3 y=-3

因點Q在雙曲線C₁的右支，
故點Q的坐標為（3，-3）（11分）
由P（6，12），Q（3，-3）得直線l的方程為即5x-y-18=0（12分）

點評：本題主要考查了利用向量的基本運算為載體，考查圓錐曲線的方程的求解及直線與曲線相交求解交點的問題，解題的關(guān)鍵是要熟練應(yīng)用向量的基本運算，及較強的計算推理的能力．