Question

將溫度調節器放置在貯存著某種液體的容器內，調節器設定在d℃，液體的溫度ξ（單位：℃）是一個隨機變量，且ξ～N（d，0.5²）．
（1）若d=90°，求ξ＜89的概率；
（2）若要保持液體的溫度至少為80℃的概率不低于0.99，問d至少是多少？（其中若η～N（0，1），則
Φ（2）=P（η＜2）=0.9772，Φ（-2.327）=P（η＜-2.327）=0.01）．

Answer 1

【答案】分析：（1）要求P（ξ＜89）=F（89），∵ξ～N（d，0.5）不是標準正態分布，而給出的是Φ（2），Φ（-2.327），故需轉化為標準正態分布的數值求解．
（2）轉化為標準正態分布下的數值求概率p，再利用p≥0.99，解出d即可．
解答：解：（1）P（ξ＜89）=F（89）=Φ（）
=Φ（-2）=1-Φ（2）=1-0.9772=0.0228．
（2）由已知d滿足0.99≤P（ξ≥80），
即1-P（ξ＜80）≥1-0.01，∴P（ξ＜80）≤0.01．
∴Φ（）≤0.01=Φ（-2.327）．
∴≤-2.327．
∴d≤81.1635．
故d至少為81.1635．
點評：本題主要考查正態分布曲線的特點及曲線所表示的意義以及正態分布的標準化：若ξ～N（μ，?），則η=～N（0，1）．