Question

已知非負實數x，y，z滿足x²+y²+z²+x+2y+3z=

13

4

，求x+y+z的最大值．

Answer 1

分析：通過配方換元，利用柯西不等式即可得出．

解答：解：x²+y²+z²+x+2y+3z=

13

4

，
可得：（x+

1

2

）²+（y+1）²+（z+

3

2

）²=

27

4

，
設x+

1

2

=w，y+1=v，z+

3

2

=u，
可得（x+

1

2

）²+（y+1）²+（z+

3

2

）²=w²+v²+u²=

27

4

，
∴x+y+z=w+y+z-3．
∵（w+v+u）²≤（1²+1²+1²）（w²+v²+u²）=

81

4

∴-

9

2

≤w+v+u≤

9

2

，當且僅當，w=v=u=

3

2

時，w+v+u的最大值為

9

2

，此時x+

1

2

=y+1=z+

3

2

，
由此可得：x+y+z的最大值為

9

2

-3=

3

2

．

點評：本題考查了配方法、換元法、柯西不等式的性質，屬于中檔題．