Question

【題目】為推導球的體積公式，劉徽制造了一個牟合方蓋（在一個正方體內作兩個互相垂直的內切圓柱，這兩個圓柱的公共部分叫做牟合方蓋），但沒有得到牟合方蓋的體積．200年后，祖暅給出牟合方蓋的體積計算方法，其核心過程被后人稱為祖暅原理：緣冪勢既同，則積不容異．意思是，夾在兩個平行平面間的兩個幾何體被平行于這兩個平行平面的任意平面所截，如果截面的面積總相等，那么這兩個幾何體的體積也相等．現在截取牟合方蓋的八分之一，它的外切正方體的棱長為1，如圖所示，根據以上信息，則該牟合方蓋的體積為（ ）

A. B. C. D.

Answer 1

【答案】B

【解析】分析：在高度處的截面，用平行與正方體上下底面的平面去截，記截得兩圓柱體公共部分所得面積為，截得正方體所得面積為，解得椎體所得面積為，，

，求出，再由定積分求出錐體體積，由正方體的體積減去錐體體積即可.

詳解：在高度處的截面，用平行與正方體上下底面的平面去截，

記截得兩圓柱體公共部分所得面積為，截得正方體所得面積為，

可得，，

由，可得，則，

所以該牟合方蓋的體積為，故選B.