Question

若曲線與直線y=x+b有一個公共點，則b的取值范圍是________；若有兩個交點，則b的取值范圍是________．

Answer 1

b=或-≤b≤    ≤b＜
分析：將曲線平方整理，得它以原點O為圓心，半徑為的圓的上半圓．而直線y=x+b是與y=x平行或重合的一條直線，將直線y=x+b進行平移并觀察兩圖象公共點的個數，則不難得到本題的答案．
解答：將曲線兩邊平方，得
x²+y²=3，（y≥0）
∴曲線表示以原點O為圓心，半徑為的圓的上半圓（含端點）
而直線y=x+b是與y=x平行或重合的一條直線，將直線y=x+b進行平移，得
①當直線y=x+b與半圓相切于點A（-，），
或直線y=x+b經過y軸上點B（0，）與C（0，-）或線段BC上一點時，
直線與半圓有且僅有一個公共點，此時b=或-≤b≤；
②當直線y=x+b經過點B，或直線y=x+b位于點A、B之間時，
直線與半圓有兩個公共點，此時≤b＜
故答案為：b=或-≤b≤，≤b＜
點評：本題給出半圓與動直線，要我們探索它們公共點的個數并加以計算，著重考查了曲線方程的化簡、直線與圓的位置關系等知識，屬于中檔題．