Question

如圖，已知動直線l經(jīng)過點P（4，0），交拋物線y²=2ax（a＞0）于A，B兩點，坐標原點O是PQ的中點，設(shè)直線AQ，BQ的斜率分別為k₁，k₂，
（1）證明：k₁+k₂=0；
（2）當a=2時，是否存在垂直于x軸的直線l′，被以AP為直徑的圓截得的弦長為定值？若存在，請求出直線l′的方程；若不存在，請說明理由。

Answer 1

解：（1）設(shè)直線l的方程為，
與拋物線方程聯(lián)立可得：，
再設(shè)點，，
則，
所以，
故。
（2）因為，所以拋物線的方程為：，
記線段中點即圓心為，
則圓的半徑，
假設(shè)存在這樣的直線，記作l′：x=t，
若要滿足題意，只需為常數(shù)即可，
故，
所以，時，能保證為常數(shù)，
故存在這樣的直線l′：x=3滿足題意。