Question

（本小題滿分12分）如圖，已知平面，平面，△為等邊三角形，，為的中點.

(1) 求證：平面；

(2) 求證：平面平面；

(3) 求直線和平面所成角的正弦值.

 

 

 

Answer 1

【答案】

(1) 證法一：取的中點，連.

 

∵為的中點，∴且.

∵平面，平面，

∴，∴.                  

又，∴.             

 

∴四邊形為平行四邊形，則.   

∵平面，平面，

∴平面.                         

證法二：取的中點，連.

∵為的中點，∴.                    

∵平面，平面，∴.           

又，

 

∴四邊形為平行四邊形，則.               

∵平面，平面，

∴平面，平面.

又，∴平面平面.            

∵平面，

∴平面.                    

(2) 證：∵為等邊三角形，為的中點，∴.    

∵平面，平面，∴.          

又，故平面.                  

∵，∴平面.                      

∵平面，

∴平面平面.                 (3)

解：在平面內，過作于，連.

∵平面平面， ∴平面.

∴為和平面所成的角.                 

設，則，

，

R t△中，.

 

∴直線和平面所成角的正弦值為.               

方法二：設，建立如圖所示的坐標系，

則.

∵為的中點，∴.              

 

(1) 證：，       

 

∵，平面，∴平面. 

 

(2) 證：∵，       

 

∴，∴.    

∴平面，又平面，

∴平面平面.                  

(3) 解：設平面的法向量為，由可得：

，取.     

又，設和平面所成的角為，則

 

.

 

∴直線和平面所成角的正弦值為.           

 

【解析】略