Question

【題目】如圖，在三棱柱中，平面，，，以，為鄰邊作平行四邊形，連接，，若二面角為45°.

（1）求證：平面⊥平面；

（2）求直線與平面所成角的正切值.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）．

【解析】

（1）由已知二面角得出的邊上的高與相等，從而得，再由已知線面垂直得線線垂直，從而可證得線面垂直，最后可得面面垂直；

（2）以為軸建立空間直角坐標系，用空間向量法求線面角的正弦，然后可得正切．

（1）取中點，連接，∵平行四邊形中，∴，，

∴，又平面，平面，∴，

，∴平面，而平面，

∴，∴是二面角的平面角，∴＝45°。

∴，∴，

又由平面，得，，∴平面，而，∴平面，又∵平面，

∴平面⊥平面；

（2）由（1），以為軸建立空間直角坐標系，如圖，則，，，，

，由（1）是平面的一個法向量，

設直線與平面所成角為，

則，

，所以．