Question

如圖（1）是一個水平放置的正三棱柱ABC-A₁B₁C₁，D是棱BC的中點．正三棱柱的正（主）視圖如圖（2）
（I）求正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的體積；
（II）證明：A₁B∥面ADC₁；
（Ⅲ）（文科做）圖（1）中垂直于平面BCC₁B₁的平面有哪幾個？（直接寫出符合要求的平面即可，不必說明或證明）
（Ⅲ）（理科做）求二面角A₁-DC₁-A的正弦值．

Answer 1

【答案】分析：（I）直接求出正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面ABC的面積，求出高AA₁，即可求出體積；
（II）連接A₁C，證明A₁B平行平面ADC₁內的直線DE，即可證明A₁B∥平面ADC₁．
（Ⅲ）（文科做）通過直線與平面垂直，說明平面與平面垂直，直接列舉出圖（1）中垂直于平面BCC₁B₁的平面即可；
（Ⅲ）（理科做）利用二面角A₁-DC₁-A的余弦值為，即可求得二面角A₁-DC₁-A的正弦值．
解答：（I）解：依題意，在正三棱柱中，AD=，AA₁=3，從而AB=2，AA₁⊥平面ABC，
所以正三棱柱的體積V=Sh=×AB×AD×AA1=×2××3=3．
（II）證明：連接A₁C，設A₁C∩AC₁=E，
連接DE，因為AA₁C₁C是正三棱柱的側面，
所以AA₁C₁C是矩形，E是A₁C的中點，
所以DE是△A₁BC的中位線，DE∥A₁B，
因為DE?平面ADC₁，A₁B?平面ADC₁，
所以A₁B∥平面ADC₁；
（Ⅲ）（文科做）解：AD垂直平面BCC₁B₁，AD?平面ABC、平面ABC∥平面A₁B₁C₁、AD?平面AC₁D
所以垂直于平面BCC₁B₁的平面有：平面ABC、平面A₁B₁C₁、平面AC₁D；
（Ⅲ）（理科做）解：△ADC₁中，AD=，DC₁=，AC₁=，∴==
△A₁DC₁中，DC₁=，A₁C₁=2，A₁D=2，∴cos∠A₁DC₁==
∴sin∠A₁DC₁==
∴==
∴二面角A₁-DC₁-A的余弦值為==
∴二面角A₁-DC₁-A的正弦值為．
點評：本題考查的知識點是棱柱的體積公式，線面平行的判斷，考查面面角．其中熟練掌握棱柱的幾何特征，掌握線面關于的判定定理，是解答本題的關鍵．