Question

如圖（1）是一個水平放置的正三棱柱ABC-A₁B₁C₁，D是棱BC的中點．正三棱柱的主視圖如圖（2）．
（Ⅰ） 圖（1）中垂直于平面BCC₁B₁的平面有哪幾個？（直接寫出符合要求的平面即可，不必說明或證明）
（Ⅱ）求正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的體積；
（Ⅲ）證明：A₁B∥平面ADC₁．

Answer 1

解：（Ⅰ）平面ABC、平面A₁B₁C₁、平面AC₁D．（3分）（每對1個給1分）
（Ⅱ）依題意，在正三棱柱中，AA₁=3，，從而BC=2．（5分），
所以正三棱柱的體積=．（7分）．
（Ⅲ）連接A₁C，設A₁C∩AC₁=E，連接DE，
因為AA₁C₁C是正三棱柱的側面，所以AA₁C₁C是矩形，E是A₁C的中點，
所以DE是△A₁BC的中位線，DE∥A₁B．（10分）
因為DE?平面ADC₁，A₁B?平面ADC₁，所以A₁B∥平面ADC₁．（12分）．
分析：（I）根據直棱柱的定義，可以判斷底面與側面垂直，再結合面面垂直的判定定理，可以判斷過AD的平面均與側面BCC₁B₁垂直，由此即可得到答案．
（II）由已知中的主視圖中標識的數據，易判斷棱柱的高為3，棱柱底面的高，則此計算出棱柱的底面積和高，代入即可得到棱柱的體積．
（III）連接A₁C，利用三角形中位線定理，易得到面內一線與面外一線平面，進而得到線面平行．
點評：本題考查的知識點是棱柱的體積公式，線面平行的判斷，其中熟練掌握棱柱的幾何特征，掌握線面關于的判定定理，是解答本題的關鍵．