Question

養路處建造圓錐形倉庫用于貯藏食鹽（供融化高速公路上的積雪之用），已建的倉庫的底面直徑為12m，高4m，養路處擬建一個更大的圓錐形倉庫，以存放更多食鹽，現有兩種方案：一是新建的倉庫的底面直徑比原來大4m（高不變）；二是高度增加4m（底面直徑不變）
（1）分別計算按這兩種方案所建的倉庫的體積；
（2）分別計算按這兩種方案所建的倉庫的表面積；
（3）哪個方案更經濟些？

Answer 1

分析：（1）根據方案一，則倉庫的底面直徑變成16m，由圓錐的體積公式建立模型．根據方案二，則倉庫的高變成8m，由圓錐的體積公式建立模型．
（2）根據方案一，倉庫的底面直徑變成16m，由表面積公式建立模型；根據方案二，則倉庫的高變成8m，由表面積公式建立模型，
（3）方案更經濟些，在于容量大，用材少，即體積大，表面積小，所以比較V₂，V₁，S₂，S₁即可．

解答：解：（1）如果按方案一，倉庫的底面直徑變成16m，則倉庫的體積
V1=

1

3

Sh=

1

3

×π×(

16

2

)2×4=

256

3

π(m3)（2分）
如果按方案二，倉庫的高變成8m，則倉庫的體積
V2=

1

3

Sh=

1

3

×π×(

12

2

)2×8=

288

3

π(m3)（4分）

（2）如果按方案一，倉庫的底面直徑變成16m，半徑為8m
棱錐的母線長為l=

82+42

=4

5

則倉庫的表面積S₁=π×8×4

5

=32

5

π（m²）（6分）
如果按方案二，倉庫的高變成8m
棱錐的母線長為l=

82+62

=10則倉庫的表面積
S₂=π×6×10=60π（m²）（8分）
（3）∵V₂＞V₁，S₂＜S₁
∴方案二比方案一更加經濟（12分）

點評：本題主要考查函數模型的建立與應用，主要涉及了空間幾何體的結構特征，圓錐的體積公式，表面積公式和模型的比較．