Question

【題目】某工廠修建一個長方體無蓋蓄水池，其容積為6400立方米，深度為4米．池底每平方米的造價為120元，池壁每平方米的造價為100元．設池底長方形的長為x米． （Ⅰ）求底面積，并用含x的表達式表示池壁面積；
（Ⅱ）怎樣設計水池能使總造價最低？最低造價是多少？

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）設水池的底面積為S1 ， 池壁面積為S2 ， 則有 （平方米）
池底長方形寬為 米，則S2=8x+8× =8（x+ ）．
（Ⅱ）設總造價為y，則
y=120×1 600+100×8（x+ ）≥192000+64000=256000．
當且僅當x= ，即x=40時取等號．
所以x=40時，總造價最低為256000元．
答：當池底設計為邊長40米的正方形時，總造價最低，其值為256000元．
【解析】（Ⅰ）分析題意，本小題是一個建立函數模型的問題，可設水池的底面積為S1 ， 池壁面積為S2 ， 由題中所給的關系，將此兩者用池底長方形長x表示出來．（Ⅱ）此小題是一個花費最小的問題，依題意，建立起總造價的函數解析式，由解析式的結構發現，此函數的最小值可用基本不等式求最值，從而由等號成立的條件求出池底邊長度，得出最佳設計方案