Question

已知兩定點，坐標分別為A(-

3

3

，0)，B(

2 3

3

，0)，動點P滿足條件∠PBA=2∠PAB，求動點P的軌跡C的方程．

Answer 1

分析：用動點P的坐標體現(xiàn)2∠PAB=∠PBA的最佳載體是直線PA、PB的斜率，確定直線的斜率可求．

解答：解：設P（x，y），∠PAB=α，則∠PBA=2α，它們是直線PA、PB的傾角還是傾角的補角，與點P在x軸的上方還是下方有關；以下討論：
①若點P在x軸的上方，α∈（0，

π

2

），y＞0，
此時，直線PA的傾角為α，PB的傾角為π-2α，
∴tanα=k_PA=

y

x+ 3 3

，tan（π-2α）=

y

x- 2 3 3

，（2α≠90⁰）
∵tan（π-2α）=-tan2α，∴-

y

x+ 3 3

=

2× y x+ 3 3

1-( y x+ 3 3 )2

，得：3x²-y²=1，
∵|PA|≥|PB|，∴x≥

3

3

．
②當點P在x軸的下方時，y＜0，同理可得點M的軌跡方程為3x²-y²=3（x≥

3

3

），
③當點P在線段AB上時，也滿足2∠PAB=∠PBA，此時y=0，(-

3

3

＜x＜

2 3

3

)．
綜上所求點的軌跡方程為3x2-y2=1   (x≥

3

3

)，y=0    (-

3

3

＜x＜

2 3

3

)．

點評：本題考查軌跡方程，考查學生的計算能力，如何體現(xiàn)動點M滿足的條件2∠PAB=∠PBA是解決本題的關鍵，屬于中檔題．