Question

（（本題14分）如圖3，四棱錐P—ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，M、N分別是AB、PC的中點(diǎn)，PA=AD=。

  (Ⅰ)求證：MN//平面PAD；

  (Ⅱ)求證：平面PMC⊥平面PCD；

  (Ⅲ)若二面角P—MC—A是60°的二面角，求四棱錐P—ABCD的體積。

 

 

 

 

                                                                

 

 

 

Answer 1

【答案】

 

證明：(Ⅰ)如答圖所示，⑴設(shè)PD的中點(diǎn)為E，連結(jié)AE、NE，

 

 

由N為PD的中點(diǎn)知ENDC，

又ABCD是矩形，∴DCAB，∴ENAB

又M是AB的中點(diǎn)，∴ENAN，                       …3分

∴AMNE是平行四邊形

∴MN∥AE，而AE平面PAD，NM平面PAD

∴MN∥平面PAD                                    …4分

(Ⅱ)∵PA＝AD，∴AE⊥PD，

又∵PA⊥平面ABCD，CD平面ABCD，

∴CD⊥PA，而CD⊥AD，∴CD⊥平面PAD                                 …6分

∴CD⊥AE， ∵PD∩CD＝D，∴AE⊥平面PCD，                          

∵M(jìn)N∥AE，∴MN⊥平面PCD，又MN平面PMC，

∴平面PMC⊥平面PCD.                                                …8分

　（Ⅲ）解：過A作AH⊥CM，交CM的延長線于H，連PH．

　　∵PA⊥平面ABCD，AH⊥CH，∴PH⊥CH，     ∴∠PHA是二面角P－MC－A的平面角，

∴AH＝                                          …   10分

　　又∵Rt△MHA∽Rt△MBC，

　　

∴     　 …12分

∴                                 …14分

解法二：(Ⅱ)以A為原點(diǎn)，AB,AD,AP所在直線分別為軸、軸、軸建系

設(shè)AB=b   (b>0)      面PMC法向量  面PDC法向量

∵          ∴面PMC面PDC                          …8分

（Ⅲ）面MCA法向量        ∵二面角P—MC—A是60°的二面角

∴                          ∴        …12分

∴                       …14分

 

【解析】略