Question

(本小題滿分16分)從數列中取出部分項，并將它們按原來的順序組成一個數列，稱之為數列的一個子數列．

設數列是一個首項為、公差為的無窮等差數列（即項數有無限項）．

（1）若，，成等比數列，求其公比．

（2）若，從數列中取出第2項、第6項作為一個等比數列的第1項、第2項，試問該數列是否為的無窮等比子數列，請說明理由．

（3）若，從數列中取出第1項、第項（設）作為一個等比數列的第1項、第2項，試問當且僅當為何值時，該數列為的無窮等比子數列，請說明理由．

Answer 1

【解】：（1）由題設，得，即，得，又，于是，故其公比．（4分）

（2）設等比數列為，其公比，，（6分）

由題設．

假設數列為的無窮等比子數列，則對任意自然數，都存在，使，

即，得，（8分）

當時，，與假設矛盾，

故該數列不為的無窮等比子數列．（10分）

（3）①設的無窮等比子數列為，其公比（），得，

由題設，在等差數列中，，，

因為數列為的無窮等比子數列，所以對任意自然數，都存在，使，

即，得，

由于上式對任意大于等于的正整數都成立，且，均為正整數，

可知必為正整數，又，故是大于1的正整數．（13分）

②再證明：若是大于1的正整數，則數列存在無窮等比子數列．

即證明無窮等比數列中的每一項均為數列中的項．

在等比數列中，，

在等差數列中，，，

若為數列中的第項，則由，得，

整理得，

由，均為正整數，得也為正整數，

故無窮等比數列中的每一項均為數列中的項，得證．

綜上，當且僅當是大于1的正整數時，數列存在無窮等比子數列．（16分）