Question

已知f(x)=

a2x-1

2x+1

(a∈R)，是R上的奇函數．
（1）求a的值；
（2）求f（x）的反函數；
（3）對任意的k∈（0，+∞）解不等式f-1(x)＞log2

1+x

k

．

Answer 1

（1）由題知f（0）=0，得a=1，
此時f(x)+f(-x)=

2x-1

2x+1

+

2-x-1

2-x+1

=

2x-1

2x+1

+

1-2x

1+2x

=0，
即f（x）為奇函數．
（2）∵y=

2x-1

2x+1

=1-

2

2x+1

，得2x=

1+y

1-y

(-1＜y＜1)，
∴f-1(x)=log2

1+x

1-x

(-1＜x＜1)．
（3）∵f-1(x)＞log2

1+x

k

，∴

1+x 1-x ＞ 1+x k -1＜x＜1

，∴

x＞1-k -1＜x＜1

，
①當0＜k＜2時，原不等式的解集{x|1-k＜x＜1}，
②當k≥2時，原不等式的解集{x|-1＜x＜1}．