Question

已知f(x)=

1

3

ax3-a2x，函數g(x)=

4x

3x2+3

，x∈[0，2]
（1）當a=1時，求f（x）在點（3，6）處的切線方程；
（2）求g（x）的值域；
（3）設a＞0，若對任意x₁∈[0，2]，總存在x₀∈[0，2]，使g（x₁）-f（x₀）=0，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）將a=1代入求出函數f（x）的解析式，然后求導數，根據k=f'（3）=8，過點（3，6），可得到切線方程．
（2）先求出g（0）=0，然后當x≠0時，對g（x）分子分母同時除以x構成g(x)=

4

3

•

1

x+ 1 x

，再由基本不等式可求出g（x）的范圍，進而確定函數g（x）的值域．
（3）先可以確定函數g（x）的值域是函數f（x）的值域的子集，轉化為求函數f（x）在[0，2]上的值域的問題．對函數f（x）進行求導，令導函數等于0求出x的值，再根據導數判斷函數在[0，2]上的單調性，可表示出函數在[0，2]上的值域，再由函數g（x）的值域是函數f（x）的值域的子集可得到答案．

解答：解：（1）當a=1時，f(x)=

1

3

x3-x，
∴f'（x）=x²-1，f'（3）=8
∴切線方程為y-6=8（x-3），即8x-y-18=0
（2）g(x)=

4x

3x2+3

x∈[0，2]
x=0時g（x）=0，0＜x≤2時，g(x)=

4

3

•

1

x+ 1 x

≤

4

3

•

1

2 x• 1 x

=

4

3

•

1

2

=

2

3

，
且g（x）＞0，當且僅當x=1時上式取等號即0＜g(x)≤

2

3

，
綜上，g（x）的值域為[0，

2

3

]．

（3）設函數f（x）在[0，2]上的值域是A，若對任意x₁∈[0，2]．
總存在x₀∈[0，2]，使g（x₁）-f（x₀）=0，∴[0，

2

3

]⊆A
由f(x)=

1

3

ax3-a2x得f′(x)=ax2-a2=a(x+

a

)(x-

a

)，x∈（0，2）
令f'（x）=0，得x=

a

或x=-

a

（舍去）
（i）0＜

a

＜2時，x，f'（x），f（x）的變化如下表：

∴f(0)=0， f(

a

)＜0．∴f(2)=

8

3

a-2a2≥

2

3

，解得

1

3

≤a≤1
（ii）當

a

≥2時，f'（x）＜0∴函數f（x）在（0，2）上單調遞減．
∵f(0)=0，f(2)=

8

3

a-2a2＜0，∴當x∈[0，2]時，不滿足[0，

2

3

]⊆A
綜上可知，實數a的取值范圍是[

1

3

，1]．

點評：本題主要考查導數的幾何意義、函數的單調性與其導函數的正負之間的關系和函數在閉區間上的最值．導數是高考必考題，要準備充分．