Question

已知f（x）是定義在[-1，1]上的函數(shù)，且f（x）=f（-x），當a，b∈[-1，0]，且a≠b時恒有[f（a）-f（b）]（a-b）＞0，f（0）=1，f(

1

4

)=

1

2

．
（1）若f（x）＜2m+3對于x∈[-1，1]恒成立，求m的取值范圍；
（2）若2f(2x-

1

4

)＞1，求x的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，結(jié)合當a，b∈[-1，0]，且a≠b時恒有[f（a）-f（b）]（a-b）＞0及偶函數(shù)在對稱區(qū)間上單調(diào)性相反，可分析出函數(shù)的單調(diào)性，進而求出函數(shù)的最值，得到m的取值范圍；
（2）結(jié)合（1）中所得函數(shù)的定義域和單調(diào)性，將抽象不等式具體化，解得x的取值范圍

解答：解：（1）由題意知：函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，且x∈[-1，0]時，f（x）單調(diào)遞增．
故x∈[0，1]時，f（x）單調(diào)遞減．----------------------------------------（4分）
所以f（x）的最大值為f（0）=1，
故2m+3＞1⇒m＞-1------（7分）
（2）∵f(

1

4

)=

1

2

，∴2f(2x-

1

4

)＞1⇒f(2x-

1

4

)＞

1

2

=f(

1

4

)-----------------------（10分）
由（1）函數(shù)f（x）的單調(diào)性可知-

1

4

＜2x-

1

4

＜

1

4

⇒0＜x＜

1

4

------------------------------------（13分）

點評：本題考查的知識點是函數(shù)的奇偶性，函數(shù)的單調(diào)性，其中根據(jù)已知條件分析出函數(shù)的奇偶性是解答的關(guān)鍵．