Question

某工廠去年新開發的某產品的年產量為100萬只，每只產品的銷售價為10元，固定成本為8元．今年，工廠第一次投入100萬元的科技成本，并計劃以后每年比上一年多投入100萬元，預計產量每年遞增10萬只，投入n次后，每只產品的固定成本為g(n)＝（k為常數，n∈Z且n≥0）．若產品銷售價保持不變，第n次投入后的年純利潤為f(n)萬元（年純利潤＝年收入－年固定成本－年科技成本）．

（1）求k的值，并求出f(n)的表達式；

（2）問從今年起，第幾年純利潤最高？最高純利潤為多少萬元？

Answer 1

解：（1）由題意當n＝0時，g(0)＝8，可得k＝8．…………………………………2分

所以，

即，n∈Z且n≥0．……………………………………………7分

（2）（解法1）由

，…………………………………………………11分

當且僅當，即n＝8時取等號，…………………………………………13分

所以第8年工廠的純利潤最高，最高為520萬元．………………………………………14分

       （解法2）令，x≥0，

       則，令，解得x＝8．…………………………………………9分

當x∈(0，8)，，y遞增；當x∈(8，＋∞)，，y遞減．…………………11分

所以當x＝8時，y有最大值，即當n＝8時，f(n)有最大值f(8)＝520．…………………13分

所以第8年工廠的純利潤最高，最高為520萬元．………………………………………14分