Question

已知圓心為O，半徑為1，弧度數為π的圓弧上有兩點P，C，其中=（如圖）．
（1）若P為圓弧的中點，E在線段OA上運動，求的最小值；
（2）若E，F分別為線段OA，OC的中點，當P在圓弧上運動時，求的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意可得C為 的中點，設OE=x（0≤x≤1），計算=，利用二次函數的性質求得它的最小值．
（2）以O為原點，BA所在的直線為x軸，建立平面直角坐標系，求出E、F的坐標，設P（x，y），則x²+y²=1（y≥0），計算 ，可得當x+y取得最小值時，取得最大值，計算求得結果．
解答：解：（1）由題意= 可得 C為 的中點，設OE=x（0≤x≤1），
則 =，
所以當時，的最小值為．
（2）以O為原點，BA所在的直線為x軸，建立平面直角坐標系，則，，
設P（x，y），則x²+y²=1（y≥0），
∴，
故當x=-1 且y=0時，x+y取得最小值為-1，所以，的最大值是 1-（-）=．
點評：本題主要考查兩個向量的數量積的定義，數量的坐標形式的運算，二次函數的性質應用，屬于中檔題．