Question

如圖，已知圓心為O，半徑為1的圓與直線l相切于點(diǎn)A，一動(dòng)點(diǎn)P自切點(diǎn)A沿直線l向右移動(dòng)時(shí)，取弧AC的長(zhǎng)為

2

3

AP，直線PC與直線AO交于點(diǎn)M．又知當(dāng)AP=

3π

4

時(shí)，點(diǎn)P的速度為v，求這時(shí)點(diǎn)M的速度．

Answer 1

分析：設(shè)AP的長(zhǎng)為x，AM的長(zhǎng)為y，用x表示y，并用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則對(duì)時(shí)間t進(jìn)行求導(dǎo)．

解答：解：如圖，作CD⊥AM，并設(shè)AP=x，AM=y，∠COA=θ，
由題意弧AC的長(zhǎng)為

2

3

x，半徑OC=1，可知θ=

2

3

x，考慮θ∈（0，π）．
∵△APM∽△DCM，∴

AM

AP

=

DM

DC

．
∵DM=y-（1-cos

2

3

x），DC=sin

2

3

x，∴

y

x

=

y-(1-cos 2 3 x)

sin 2 3 x

∴y=

x(1-cos 2 3 x)

x-sin 2 3 x

．
上式兩邊對(duì)時(shí)間t進(jìn)行求導(dǎo)，則y′_t=y′_x•x′_t．
∴y′_t=[

(x-sin 2 3 x)(1-cos 2 3 x+ 2 3 xsin 2 3 x)-x(1-cos 2 3 x)(1- 2 3 cos 2 3 x)

(x-sin 2 3 x)2

]x′t
當(dāng)x=

3

4

π時(shí)，x′_t=v，代入上式得點(diǎn)M的速度y′t=

2(3π2-4π-8)

(3π-4)2

v．

點(diǎn)評(píng)：本題是難度較大題目，考查了弦長(zhǎng)、弧度、相似、特別是復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，以及導(dǎo)數(shù)的幾何意義；
同時(shí)也考查了邏輯思維能力和計(jì)算能力．