Question

在平面直角坐標系xOy中，以C（1，-2）為圓心的圓與直線x+y+3

2

+1=0相切．
（1）求圓C的方程；
（2）求過點（3，4）且截圓C所得的弦長為2

5

的直線方程．

Answer 1

分析：（1）假設圓的方程，利用以C（1，-2）為圓心的圓與直線x+y+3

2

+1=0相切，即可求得圓C的方程；
（2）分類討論，利用圓心C（1，-2）到直線的距離，過點（3，4）且截圓C所得的弦長為2

5

，即可求得直線方程．

解答：解：（1）設圓的方程是（x-1）²+（y+2）²=r²，------（1分）
依題意，∵C（1，-2）為圓心的圓與直線x+y+3

2

+1=0相切．
∴所求圓的半徑，r=

|1-2+3 2 +1|

2

=3，-----（3分）
∴所求的圓方程是（x-1）²+（y+2）²=9．----------------（4分）
（2）∵圓方程是（x-1）²+（y+2）²=9，
當斜率存在時，設直線的斜率為k，則直線方程為y-4=k（x-3），------（5分）
即kx-y+4-3k=0，
由圓心C（1，-2）到直線的距離d=

|k+2+4-3k|

k2+1

=2，----（6分）
即

|k-3|

k2+1

=1，解得k=

4

3

，-----（8分）
∴直線方程為y-4=

4

3

(x-3)，即4x-3y=0，----（9分）
∴當斜率不存在時，也符合題意，即所求的直線方程是x=3．--------（11分）
∴所求的直線方程為x=3和4x-3y=0．------------（12分）

點評：本題重點考查圓的標準方程，考查直線與圓的位置關系，考查圓中弦長的計算，合理運用圓的性質是關鍵．