Question

【題目】設a，b＞0，且a≠b，求證：a3＋b3＞a2b＋ab2.

Answer 1

【答案】見解析

【解析】證明：證法一（分析法）：要證a3＋b3＞a2b＋ab2成立．

只需證（a＋b）（a2－ab＋b2）＞ab（a＋b）成立，又因為a＋b＞0，

所以只需證a2－ab＋b2＞ab成立，只需證a2－2ab＋b2＞0成立，

即需證（a－b）2＞0成立．而a≠b，則（a－b）2＞0顯然成立．

由此命題得證．

證法二（綜合法）：a≠ba－b≠0（a－b）2＞0a2－2ab＋b2＞0a2－ab＋b2＞ab.注意到a，b∈R＋，a＋b＞0，可得（a＋b）（a2－ab＋b2）＞ab（a＋b），∴a3＋b3＞a2b＋ab2.