Question

設a、b∈R⁺且a+b=3，求證

1+a

+

1+b

≤

10

．

Answer 1

分析：證法一綜合法是從已知出發，經過逐步推理，最后導出所要達到的結論；
證法二運用分析的解題方法，執果索因、逆向思考問題，在分析過程中去尋覓結論成立的一些條件．分析法執果索因、逆向思考問題，在分析過程中去尋覓結論成立的一些條件，從而使問題得證．

解答：證明：證法一：（綜合法）
∵(

1+a

+

1+b

)2=2+a+b+2

(1+a)•(1+b)

≤5+(1+a+1+b)=10
∴

1+a

+

1+b

≤

10

證法二：（分析法）∵a、b∈R⁺且a+b=3，
∴欲證

1+a

+

1+b

≤

10

只需證(

1+a

+

1+b

)2≤10
即證2+a+b+2

(1+a)•(1+b)

≤10即證2

(1+a)•(1+b)

≤5
只需證4（1+a）•（1+b）≤25只需證4（1+a）•（1+b）≤25
即證4（1+a+b+ab）≤25只需證4ab≤9即證ab≤

9

4

∵ab≤(

a+b

2

)2=(

3

2

)2=

9

4

成立∴

1+a

+

1+b

≤

10

成立

點評：運用分析的解題方法，執果索因、逆向思考問題，在分析過程中去尋覓結論成立的一些條件（隱含條件、過渡條件等），由欲知確定需知，求需知利用已知，適時采用由結論到條件的分析方法逆向訓練，有利于養成雙向考慮問題的良好習慣．