Question

如圖，O是正方形ABCD的中心，PO⊥面ABCD，E是PC的中點．PO=

11

，AB=

2

．
（1）求證：BD⊥平面PAC；
（2）求異面直線PA和BE所成的角．

Answer 1

分析：（1）利用線面垂直的性質可得PO⊥BD，結合ABCD是正方形，利用線面垂直的判定可得結論；
（2）連接OE，證明∠OEB是異面直線PA和BE所成的角，在Rt△BOE中，求異面直線PA和BE所成的角．

解答：（1）證明：∵PO⊥底面ABCD，BD?面ABCD，∴PO⊥BD…2分
∵ABCD是正方形，∴BD⊥AC…4分
∵PO∩AC=O，PO?平面PAC，AC?平面PAC
∴BD⊥平面PAC…6分
（2）解：連接OE，
∵O是正方形ABCD的中心，∴OA=OC…7分
在△PAC中，E是PC的中點
∴OE∥PA且OE=

1

2

PA…8分
∴∠OEB是異面直線PA和BE所成的角                  …9分
在正方形ABCD中，AB=

2

，∴OB=

1

2

BD=1…10分
在Rt△POA中，OA=OB=1，PO=

11

，∴PA=

OA2+PO2

=2

3

…11分
∴OE=

3

…12分
由（1）知BD⊥平面PAC，且OE?平面PAC，∴BD⊥OE
∴在Rt△BOE中，BE=

OB2+OE2

=2…13分
∴∠OEB=30°，即異面直線PA和BE所成的角是30°…14分

點評：本題考查線面垂直，考查異面直線所成的角，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．