Question

從一點(diǎn)P引三條射線PA、PB、PC且兩兩成60°角，則二面角A-PB-C的余弦值是

 

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Answer 1

分析：在射線PB上取一點(diǎn)M，過(guò)M作MA、MC垂直于PB分別相交射線PA、PC于點(diǎn)A、C，連接AC在△ACM中，作AN垂直于CM于點(diǎn)N，∠AMN就是二面角A-PB-C的平面角，解三角形AMN，即可得到二面角A-PB-C的余弦．

解答：解：在射線PB上取一點(diǎn)M，過(guò)M作MA、MC垂直于PB分別相交射線PA、PC于點(diǎn)A、C，連接AC 由圖看出，在直角△PAM中，∠APM=60°，令PM=a，則AP=2a AM=

3

a 同樣，在直角△PCM中，∠CPM=60°，令PM=a，則CP=2a CM=

3

a 由于∠APC=60°，PA=PC=2a 所以△PAC為等邊三角形，AC=2a 在△ACM中，作AN垂直于CM于點(diǎn)N，令MN=b，CN=

3

a-b，AN=x，由勾股定理，△AMN中 （

3

a）²-x²=b²△ACN中 （2a）²-x²=（

3

a-b）²聯(lián)合兩式消去x整理的，a=

3

b 即

b

a

=

3

3

，

b

3 a

=

1

3

所以 cosM=

b

3 a

=

1

3

∴二面角A-PB-C的余弦值是

1

3

故答案為：

1

3

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是二面角的平面角及求法，其中求出二面角的平面角是解答本題的關(guān)鍵．