Question

野營(yíng)活動(dòng)中，學(xué)生在平地上用三根斜桿搭建一個(gè)正三棱錐形的三腳支架P-ABC進(jìn)行野炊訓(xùn)練．已知PC=130cm，A、B兩點(diǎn)間距離為50

3

cm．
（1）求斜桿PC與地面ABC所成角的大小（用反三角函數(shù)值表示）；
（2）將炊事鍋看作一個(gè)點(diǎn)Q，用吊繩PQ將炊事鍋吊起燒水（鍋的大小忽略不計(jì)），若使炊事鍋Q到地面ABC及各條斜桿的距離都不小于30cm，試問(wèn)吊繩PQ長(zhǎng)的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）設(shè)P點(diǎn)在平面ABC上的射影為點(diǎn)O，連接CO，根據(jù)已知中PC=130cm，A、B兩點(diǎn)間距離為50

3

cm．我們易求出∠PCO即為斜桿PC與地面ABC所成角，解三角形PCO即可得到斜桿PC與地面ABC所成角的大小．
（2）結(jié)合（1）的結(jié)論，易得PO的值，作QD⊥PC交PC于D點(diǎn)，由炊事鍋Q到地面ABC及各條斜桿的距離都不小于30cm，易求出吊繩PQ長(zhǎng)的取值范圍．

解答：解：（1）設(shè)P點(diǎn)在平面ABC上的射影為點(diǎn)O，連接CO，CO=50，（3分）
在Rt△POC中，cos∠PCO=

5

13

，所以∠PCO=arccos

5

13

．（5分）
即PC與底面ABC所成角的大小為arccos

5

13

．（6分）
（2）在Rt△POC中，解得PO=120，
作QD⊥PC交PC于D點(diǎn)，
由QD≥30，得PQ=

QD

sin∠QPD

≥

30

5 13

=78．（11分）
又PQ≤120-30=90，（13分）
故吊繩長(zhǎng)度的取值范圍為[78，90]．（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是直線與平面所成的角，解三角形的實(shí)際應(yīng)用，其中（1）的關(guān)鍵是確定∠PCO即為斜桿PC與地面ABC所成角，（2）的關(guān)鍵是根據(jù)炊事鍋Q到地面ABC及各條斜桿的距離都不小于30cm，構(gòu)造關(guān)于PQ的不等式．