Question

已知y=f（x）是R上的偶函數，且f（x）=f（2-x），如果f（x）在[1，2]上是減函數，那么f（x）在區間[-2，-1]和[3，4]上分別是（　　）

A．增函數和減函數

B．增函數和增函數

C．減函數和減函數

D．減函數和增函數

Answer 1

分析：由偶函數在關于原點對稱的區間上單調性相反及f（x）在[1，2]上是減函數可判斷f（x）在區間[-2，-1]上的單調性，根據f（-x）=f（x）及f（x）=f（2-x），可求得函數f（x）的周期，從而可判斷f（x）在[3，4]上的單調性．

解答：解：因為f（x）為偶函數，且f（x）在[1，2]上是減函數，
所以f（x）在區間[-2，-1]上是增函數；
由f（-x）=f（x），f（x）=f（2-x），得f（2-x）=f（x）=f（-x），
所以f（x）是以2為周期的函數，
因為f（x）在[1，2]上是減函數，所以f（x）在[3，4]上也為減函數．
故選A．

點評：本題考查函數的奇偶性、單調性及周期性，考查學生綜合運用所學知識分析問題解決問題的能力．