Question

答題：解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟． 已知定義域為[0，1]的函數f(x)同時滿足： ①對于任意的x∈[0，1]，總有f(x)≥0； ②f(1)＝1； ③若0≤x1≤1，0≤x2≤1，x1＋x2≤1，則有f(x1＋x2)≥f(x1)＋f(x2)． 　 (1) 試求f(0)的值； (2) 試求函數f(x)的最大值； (3) 試證明：當x，nN+時，f(x)＜2x．

Answer 1

答案：
解析：

(1)	解：令x1＝x2＝0，依條件(3)可得f(0＋0)≥2f(0)，即f(0)≤0 又由條件(1)得f(0)≥0故f(0)＝0………………………3分
(2)	解：任取0≤x1＜x2≤1可知x2－x1(0，1]，則 f(x2)＝f[(x2－x1)＋x1]≥f(x2－x1)＋f(x1)≥f(x1) 于是當0≤x≤1時，有f(x)≤f(1)＝1因此當x＝1時，f(x)取最大值1．………8分
(3)	證明：先用數學歸納法證明：當x(nN+)時，f(x)≤ 10當n＝1時，x，f(x)≤f(1)＝1＝，不等式成立． 當n＝2時，x，＜2x≤1，f(2x)≤1，f(2x)≥f(x)＋f(x)＝2f(x) ∴f(x)≤f(2x)≤不等式成立． 20假設當n＝k(kN＋，k≥2)時，不等式成立，即x時，f(x)≤ 則當n＝k＋1時，x，記t＝2x，則t＝2x，∴f(t)≤ 而f(t)＝f(2x)≥2f(x)，∴f(x)≤f(2x)＝f(t)≤ 因此當n＝k＋1時不等式也成立． 由10，20知，當x(nN＋)時，f(x)≤ 又當x(nN＋)時，2x＞，此時f(x)＜2x． 綜上所述：當x(nN＋)時，有f(x)＜2x．………………14分