Question

解答題：解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟 在五棱錐P－ABCDE中，PA＝AB＝AE＝2a，PB＝PE＝a，BC＝DE＝a，∠EAB＝∠ABC＝∠DEA＝90°． (1) 求證：PA⊥平面ABCDE； (2) 求二面角A－PD－E的大小； (3) 求點C到平面PDE的距離．

Answer 1

答案：
解析：

(1)	證明：∵PA＝AB＝2a，PB＝2a， ∴PA2＋AB2＝PB2，∴∠PAB＝90°，即PA⊥AB． 同理PA⊥AE．－－－－－－3分 ∵AB∩AE＝A，∴PA⊥平面ABCDE．－－－－－－－－5分
(2)	解：∵∠AED＝90°， ∴AE⊥ED． ∵PA⊥平面ABCDE，∴PA⊥ED． ∴ED⊥平面PAE．過A作AG⊥PE于G， 過DE⊥AG，∴AG⊥平面PDE． 過G作GH⊥PD于H，連AH， 由三垂線定理得AH⊥PD．∴∠AHG為二面角A－PD－E的平面角．－－－－－－－－8分 在直角△PAE中，AG＝a．在直角△PAD中，AH＝a， ∴在直角△AHG中，sin∠AHG＝＝．∴∠AHG＝arcsin． ∴二面角A－PD－E的大小為arcsin．－－－－－－－－10分
(3)	解：，， 取中點，連， 四邊形為平行四邊形． 而平面，平面 平面 點到平面的距離等于到平面的距離． 平面 又，平面PAE 平面．． 的長即為點到平面的距離．…………………………13分 在中，，為中點， 點到平面的距離為．……………………14分．