Question

在△ABC中，AB=2AC=2，∠BAC=120°，

AB

•

AC

=-1，若

AO

=x1

AB

+x2

AC

（O是△ABC的外心），則x₁+x₂的值為

 

．

Answer 1

分析：建立直角坐標系，求出三角形各頂點的坐標，因為O為△ABC的外心，把AB的中垂線 m方程和AC的中垂線 n的方程，聯立方程組，求出O的坐標，利用已知向量間的關系，待定系數法求λ₁和λ₂ 的值．

解答：解：如圖：以A為原點，以AB所在的直線為x軸，建立直角系：則A（0，0），B （2，0），C（-

1

2

，

3

2

）．
∵O為△ABC的外心，∴O在AB的中垂線 m：x=1 上，又在AC的中垂線 n 上，
AC的中點（-

1

4

，

3

4

），AC的斜率為-3，∴中垂線n的方程為 y-

3

4

=

3

3

（x+

1

4

）．
把直線 m和n 的方程聯立方程組解得△ABC的外心O（1，

2 3

3

），由條件

AO

=λ1

AB

λ+λ2

AC

，
得（1，

2 3

3

）=x₁ （2，0）+x₂ （-

1

2

，

3

2

）=（2x₁-

1

2

x₂，

3

2

 x₂ ），
∴2x₁-

1

2

x₂=1，

3

2

x₂=

2 3

3

，∴x₁ =

5

6

，x₂ =

4

3

，∴x₁+x₂=

13

6

，
故答案為：

13

6

．

點評：本題考查求兩條直線的交點坐標的方法，三角形外心的性質，向量的坐標表示及向量相等的條件，待定系數法求參數值．屬中檔題．