Question

已知曲線S：y=3x-x³及點P（2，2）．
（1）求過點P的切線方程；
（2）求證：與曲線S切于點（x，y）（x≠0）的切線與S至少有兩個交點．

Answer 1

【答案】分析：（1）欲求在點（2，2）處的切線方程，只須求出其斜率的值即可，故先利用導(dǎo)數(shù)求出在x=2處的導(dǎo)函數(shù)值，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出切線的斜率．從而問題解決．
（2）先設(shè)與曲線S切于點（x，y）的切線方程為：y-y=（3-3x²）（x-x），與曲線S的方程聯(lián)立，消去y，得到關(guān)于x的一元二次方程，再利用根的判別即可求得方程根的個數(shù)，從而解決問題．
解答：解：（1）解設(shè)切點為（x，y），則y=3x-x³．
又f′（x）=3-3x²，
∴切線斜率k==3-3x²，
即3x-x³-2=（x-2）（3-3x²），
∴（x-1）[（x-1）²-3]=0，
解得x=1或x=1±，
相應(yīng)的斜率k=0或k=-9±6，
∴切線方程為y=2或y=（-9±6）（x-2）+2．
（2）證明：與曲線S切于點（x，y）的切線方程可設(shè)為
y-y=（3-3x²）（x-x），
與曲線S的方程聯(lián)立，消去y，
得3x-x³-y=3（1-x）•（x-x），
即3x-x³-（3x-x）=3（1-x²）（x-x）．
即（x-x）²（x+2x）=0，則x=x或x=-2x，
因此，與曲線S切于點（x，y）（x≠0）的切線，與S至少有兩個交點．
點評：本小題主要考查直線的斜率、導(dǎo)數(shù)的幾何意義、利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．