Question

設f(x)=2x+

a

2x

-1（a為實常數）．
（1）當a＜0時，用函數的單調性定義證明：y=f（x）在R上是增函數；
（2）當a=0時，若函數y=g（x）的圖象與 y=f（x）的圖象關于直線x=0對稱，求函數y=g（x）的解析式；
（3）當a＜0時，求關于x的方程f（x）=0在實數集R上的解．

Answer 1

分析：（1）設x₁＜x₂，再進行作差f（x₁）-f（x₂），代入解析式進行化簡，根據條件判斷出符號，最后下結論；
（2）先設y=g（x）的圖象任一點為P（x，y），再求出對稱點（-x，y）代入f（x）=2^x-1，進行整理即可；
（3）將方程2x+

a

2x

-1=0進行化簡，再設t=2^x，則t＞0，代入后得到關于t的二次方程，利用a的范圍和求根公式進行求解，再求出x的值．

解答：解：（1）設x₁＜x₂，則f（x₁）-f（x₂）=（2x1+

a

2x1

-1）-（2x2+

a

2x2

-1）
=2x1-2x2+

a

2x1

-

a

2x2

=2x1-2x2+

a(2x2-2x1)

2x12x2

=

(2x1-2x2)(1-a)

2x12x2

，
∵x₁＜x₂，∴2x1-2x2＜0，2x12x2＞0，
∵a＜0，∴1-a＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即 f（x₁）＜f（x₂），
∴y=f（x）在R上是增函數；
（2）a=0時，f（x）=2^x-1，設y=g（x）的圖象任一點為P（x，y），
則P（x，y）關于直線x=0對稱點（-x，y）在y=f（x）的圖象，
∴y=2^-x-1=

1

2x

-1，即g（x）=

1

2x

-1；
（3）由2x+

a

2x

-1=0得，2^2x-2^x+a=0，
設t=2^x，則t＞0，且方程變為t²-t+a=0，
∵a＜0，∴△=1-4a＞1，
∴方程的根為t1=

1- 1-4a

2

＜0，t2=

1+ 1-4a

2

＞0，
∴方程的根為：t =

1+ 1-4a

2

=2^x，
∴x=

log	1+ 1-4a 2 2

，
即方程f（x）=0在實數集R上的解是

log	1+ 1-4a 2 2

．

點評：本題是綜合題，考查了利用單調性的定義證明過程，利用對稱性求函數的解析式，以及換元法求方程的根，注意換元后應求出對應的范圍．