Question

（2010•茂名二模）已知f′（x）是f（x）的導函數，f（x）=ln（x+1）+m-2f′（1），m∈R，且函數f（x）的圖象過點（0，-2）．
（1）求函數y=f（x）的表達式；
（2）設g(x)=

1

x+1

+af(x)，(a≠0)，若g（x）＞0在定義域內恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由題意先求出導函數，再求出f′（1），然后利用函數f（x）的圖象過點（0，-2）建立的方程求解即可．
（2）由題意先求出g（x）的解析式，然后找函數在定義域下的最小值，讓最小值還大于0，解出a的范圍．

解答：解：（1）由已知得f′(x)=

1

x+1

，∴f′(1)=

1

2

又f（0）=-2∴ln1+m-2×

1

2

=-2
∴m=-1，∴f（x）=ln（x+1）-2．
（2）由（1）得g(x)=

1

x+1

+a[ln(x+1)-2]
定義域為（-1，+∞），
∴g′(x)=-

1

(x+1)2

+

a

x+1

=

ax+a-1

(x+1)2

．
∵a≠0
令g'（x）=0得x=

1-a

a

=-1+

1

a

①當a＞0時-1+

1

a

∈(-1，+∞)，且在區間(-1+

1

a

，+∞)上g，（x）＞0，
在區(-1，-1+

1

a

)上g′（x）＜0．
∴g(x)在x=-1+

1

a

處取得極小值，也是最小值．
∴g(x)=g(-1+

1

a

)=a-a(ln a+2)
由a+a（-lna-2）＞0得a＜

1

e

．∴0＜a＜

1

e

．
②當a＜0時-1+

1

a

∉(-1，+∞)，
在區間（-1，+∞）上，g′（x）＜0恒成立．
g（x）在區間（-1，+∞）上單調遞減，沒有最值
綜上得，a的取值范圍是0＜a＜

1

e

．

點評：此題重點考查了導函數的求導法則，函數在定義域下恒成立等價轉化為求函數最小值并讓最小值還大于0進而得出答案，在運算中又考查了分類討論的思想．