Question

（2010•茂名二模）如圖所示，橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的離心率為

2 5

5

，且A（0，1）是橢圓C的頂點．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過點A作斜率為1的直線l，在直線l上求一點M，使得以橢圓C的焦點為焦點，且過點M的雙曲線E的實軸最長，并求此雙曲線E的方程．

Answer 1

分析：（1）根據A（0，1）是橢圓C的頂點得a值，根據離心率為

2 5

5

，求出b值，從而求橢圓C的方程；
（2）欲求雙曲線E的方程，只須求出其實軸長即可，而要使雙曲線E的實軸最長，只需||MF₁|-|MF₂||最大即可，根據對稱性知，直線F₂F₁′與直線l的交點即為所求的點M即能使||MF₁|-|MF₂||最大，從而問題解決．

解答：解：（1）由題意可知，b=1（1分）
∵e=

c

a

=

2 5

5

即

c2

a2

=

a2-1

a2

=

4

5

∴a²=5（3分）
∴所以橢圓C的方程為：

x2

5

+y2=1（4分）
（2）設橢圓C的焦點為F₁，F₂，
則可知F₁（-2，0），F₂（2，0），
直線l方程為：x-y+1=0（6分）
因為M在雙曲線E上，所以要使雙曲線E的實軸最長，
只需||MF₁|-|MF₂||最大．
又∵F₁（-2，0）關于直線l：x-y+1=0的對稱點為F′₁（-1，-1），
則直線F₂F₁′與直線l的交點即為所求的點M（9分）
∵直線F₂F₁′的斜率為k=

1

3

，其方程為：y=

1

3

（x-2）
∴

y= 1 3 (x-2) x-y+1=0

解得

x=- 5 2 y=- 3 2

∴M（-

5

2

，-

3

2

）（12分）
又2a′=||MF₁|-|MF₂||=||MF₁′|-|MF₂||≤|F2F₁′|=

(2+1)2+12

=

10

∴a′max=

1

2

10

，此時b′=

1

2

6

，
故所求的雙曲線方程為

x2

5 2

-

y2

3 2

=1．（14分）

點評：本題主要考查了橢圓的標準方程、雙曲線的標準方程、直線與圓錐曲線的綜合問題．直線與圓錐曲線聯系在一起的綜合題在高考中多以高檔題、壓軸題出現，主要涉及位置關系的判定，弦長問題、最值問題、對稱問題、軌跡問題等   突出考查了數形結合、分類討論、函數與方程、等價轉化等數學思想方法．