Question

（本小題滿分13分）已知橢圓的中心在原點(diǎn)O，短軸長為，其焦點(diǎn)F（c，0）（c＞0）對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)線l與x軸交于A點(diǎn)，|OF|=2|FA|，過A的直線與橢圓交于P、Q兩點(diǎn).

   （1）求橢圓的方程；（2）若，求直線PQ的方程；  （3）設(shè)，過點(diǎn)P且平行于準(zhǔn)線l的直線與橢圓相交于另一點(diǎn)M. 求證F、M、Q三點(diǎn)共線.

Answer 1

（1）   （2）

解析:

（1）由題意，設(shè)橢圓的方程為：

由已知得，解得橢圓的方程為：

（2）由（1）可得，準(zhǔn)線l的方程為：

設(shè)直線PQ的方程為：

由方程組

依題意，則

 ①    ②    

由直線PQ的方程得，

 ③

又 ④         

由①②③④得，直線PQ的方程為

 ………………8分

（3）證明：

由題意可得方程組 

而  ，又∵直線FM、直線FQ有公共點(diǎn)F      故F、M、Q三點(diǎn)共線.