Question

已知兩個集合A={x∈R|x²+（a+2）x+1=0}，B={x|x＞0}，若A交B為空集，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：由集合A和集合B，以及兩集合交集為空集，分三種情況考慮：
（1）當集合A為空集時，集合A中的方程無解，得到根的判別式小于0，列出關于a的不等式，求出不等式的解集得到a的范圍；
（2）當集合A中的元素有2個時，集合A中的方程有2個不相等的實數根，即根的判別式大于0，且兩根之和小于0，列出關于a的不等式，求出不等式的解集得到a的范圍；
（3）當集合A中的元素只有1個時，集合A中的方程有2個相等的實數根，即根的判別式等于0，列出關于a的方程，求出方程的解得到a的值，將a的值代入方程檢驗，得到滿足題意a的值，
綜上，得到滿足題意的a的范圍．

解答：解：由A={x∈R|x²+（a+2）x+1=0}，B={x|x＞0}，且A∩B=∅，
分三種情況考慮：
（1）當A=∅時，△=（a+2）²-4＜0，即a（a+4）＜0，
解得：-4＜a＜0；
（2）當A中有兩個元素時，設方程x²+（a+2）x+1=0的兩根分別為x₁，x₂，
則有△=（a+2）²-4＞0，解得：a＜-4或a＞0，
又x₁+x₂=-（a+2）＜0，解得：a＞-2，
∴此時a的范圍為a＞0；
（3）當A中只有一個元素時，△=（a+2）²-4=0，
解得：a=-4或a=0，
經檢驗a=-4時，方程解為1，不合題意；a=0時，方程解為-1，符合題意，
此時a的值為0，
綜上，滿足題意a的范圍為a＞-4．

點評：此題考查了交集及其運算，涉及的知識有：根與系數的關系，根的判別式，以及空集的定義，利用了分類討論的思想，是一道綜合性較強的試題．