Question

已知兩個(gè)集合A={x∈R|x²+（a+2）x+1=0}，B={x|x＞0}，若A交B為空集，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

解：由A={x∈R|x²+（a+2）x+1=0}，B={x|x＞0}，且A∩B=∅，
分三種情況考慮：
（1）當(dāng)A=∅時(shí)，△=（a+2）²-4＜0，即a（a+4）＜0，
解得：-4＜a＜0；
（2）當(dāng)A中有兩個(gè)元素時(shí)，設(shè)方程x²+（a+2）x+1=0的兩根分別為x₁，x₂，
則有△=（a+2）²-4＞0，解得：a＜-4或a＞0，
又x₁+x₂=-（a+2）＜0，解得：a＞-2，
∴此時(shí)a的范圍為a＞0；
（3）當(dāng)A中只有一個(gè)元素時(shí)，△=（a+2）²-4=0，
解得：a=-4或a=0，
經(jīng)檢驗(yàn)a=-4時(shí)，方程解為1，不合題意；a=0時(shí)，方程解為-1，符合題意，
此時(shí)a的值為0，
綜上，滿足題意a的范圍為a＞-4．
分析：由集合A和集合B，以及兩集合交集為空集，分三種情況考慮：
（1）當(dāng)集合A為空集時(shí)，集合A中的方程無(wú)解，得到根的判別式小于0，列出關(guān)于a的不等式，求出不等式的解集得到a的范圍；
（2）當(dāng)集合A中的元素有2個(gè)時(shí)，集合A中的方程有2個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，即根的判別式大于0，且兩根之和小于0，列出關(guān)于a的不等式，求出不等式的解集得到a的范圍；
（3）當(dāng)集合A中的元素只有1個(gè)時(shí)，集合A中的方程有2個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，即根的判別式等于0，列出關(guān)于a的方程，求出方程的解得到a的值，將a的值代入方程檢驗(yàn)，得到滿足題意a的值，
綜上，得到滿足題意的a的范圍．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了交集及其運(yùn)算，涉及的知識(shí)有：根與系數(shù)的關(guān)系，根的判別式，以及空集的定義，利用了分類(lèi)討論的思想，是一道綜合性較強(qiáng)的試題．