Question

在平面直角坐標系中，已知圓和圓.

（1）若直線過點，且被圓截得的弦長為，求直線的方程；

（2）在平面內是否存在一點，使得過點有無窮多對互相垂直的直線和，它們分別與圓和圓相交，且直線被圓截得的弦長的倍與直線被圓截得的弦長相等？若存在，求出所有滿足條件的點的坐標；若不存在，請說明理由.

 

Answer 1

【答案】

(1)若直線的斜率不存在，則過點的直線為，此時圓心到直線的距離為，被圓截得的弦長為，符合題意，所以直線為所求.                                             …………2分

若直線的斜率存在，可設直線的方程為，即，

所以圓心到直線的距離.        …………3分

又直線被圓截得的弦長為，圓的半徑為4，所以圓心到直線的距離應為，即有

，解得：.                              …………4分

因此，所求直線的方程為或，

即或.                              …………5分

(2) 設點坐標為，直線的斜率為(不妨設，則的方程分別為：

即，

即.                …………6分

因為直線被圓截得的弦長的倍與直線被圓截得的弦長相等，又已知圓的半徑是圓的半徑的倍.由垂徑定理得：圓心到直線的距離的倍與直線的距離相等.                           …………7分

故有，                …………10分

化簡得：，

即有或.

…………11分

由于關于的方程有無窮多解，所以有

或，                         …………12分

解之得：

或，                                     …………13分

所以所有滿足條件的點坐標為或.  

【解析】略