Question

矩形ABCD的長AB=8，寬AD=5，動點E、F分別在邊BC、CD上，且CE=CF=x，將△AEF的面積S表示為x的函數f（x）．
（1）求函數S=f（x）的解析式及定義域；
（2）求S的值域．

Answer 1

分析：（1）利用幾何圖形的關系，欲求△AEF的面積S，利用平行四邊形的面積減去三個三角形的面積計算即得，最后結合實際問題寫出定義域．
（2）利用（1）中得出的二次函數f（x）在x∈（0，5]上單調性，即可求得函數S的值域．

解答：解：（1）S=f（x）=S_{平行四邊形ABCD}-S_△CEF-S_△ABE-S_△ADF
=40-

1

2

x2-

1

2

×8×(5-x)-

1

2

×5×(8-x)
=-

1

2

x2+

13

2

x
=-

1

2

(x-

13

2

)2+

169

8

．
∵CE≤CB≤CD，∴0＜x≤5，
∴函數S=f（x）的解析式：S=f(x)=-

1

2

(x-

13

2

)2+

169

8

(0＜x≤5)；
定義域（0，5]；
（2）∵f（x）在x∈（0，5]上單調遞增，∴S_max=f（5）=20，
即S的最大值為20．
∴值域（0，20]．

點評：本小題主要考查函數模型的選擇與應用、二次函數的最值問題，屬于基礎題．解決實際問題通常有四個步驟：（1）閱讀理解，認真審題；（2）引進數學符號，建立數學模型；（3）利用數學的方法，得到數學結果；（4）轉譯成具體問題作出解答，其中關鍵是建立數學模型．