Question

類比平面內直角三角形的勾股定理，在空間四面體P-ABC中，記底面△ABC的面積為S₀，三個側面的面積分別為S₁，S₂，S₃，若PA，PB，PC兩兩垂直，則有結論

S

2 0

=

S

2 1

+

S

2 2

+

S

2 3

．

Answer 1

分析：設三個側棱是a，b，c，可得三個側面的面積，底面△ABC的面積，從而可得結論．

解答：解：設三個側棱是a，b，c，則三個側面的面積分別是

ab

2

，

bc

2

，

ac

2

．
三條底邊的長為

a2+b2

，

b2+c2

，

a2+c2

，
由余弦定理，可得底面的面積是

(ab)2+(ac)2+(bc)2

2

∵底面△ABC的面積為S₀，三個側面的面積分別為S₁，S₂，S₃，
∴

S

2 0

=

S

2 1

+

S

2 2

+

S

2 3

故答案為：

S

2 0

=

S

2 1

+

S

2 2

+

S

2 3

點評：本題考查類比推理，考查學生分析解決問題的能力，考查學生的計算能力，屬于中檔題．