Question

直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中AB=AC=AA₁=3a，BC=2a，D是BC的中點，F是C₁C上一點，且CF=2a．
（1）求證：B₁F⊥平面ADF；
（2）求平面ADF與平面AA₁B₁B所成銳二面角的余弦值．

Answer 1

（1）證明：以D為坐標原點，DA、DB、DD₁分別為
x、y、z軸建立空間直角坐標系（D₁是C₁B₁的中點），則A（2a，0，0），B（0，a，0），F（0，-a，2a），B₁（0，a，3a），（4分）
，，，
由且，得B₁F⊥DF，B₁F⊥DA，
∵DF∩DA=D
∴B₁F⊥平面ADF；（6分）
（2）由（1）知，，
設平面AA₁B₁B的一個法向量為，
則且，可取，（8分）
由cos＜，＞==-
即所求二面角的余弦值是．（13分）
分析：（1）以D為坐標原點，DA、DB、DD₁分別為x、y、z軸建立空間直角坐標系（D₁是C₁B₁的中點），建立空間直角坐標系，用坐標表示點與向量，證明且，即可證得B₁F⊥平面ADF；
（2）求得平面AA₁B₁B的一個法向量，利用cos＜，＞=，即可求得二面角的余弦值．
點評：本題考查線面垂直，考查面面角，解題的關鍵是建立空間直角坐標系，利用向量方法解決立體幾何問題，屬于中檔題．