Question

已知：F₁和F₂為雙曲線-=1（a＞0，b＞0）的兩個焦點，F₁，F₂，P（0，2b）是正三角形的三個頂點，
（1）求：雙曲線的離心率；
（2）若雙曲線經過點Q（4，6），求：雙曲線的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用F₁，F₂，P（0，2b）構成正三角形，可得幾何量之間的關系，即可求雙曲線的離心率；
（2）利用離心率化簡雙曲線的方程，代入點的坐標，即可求得雙曲線的方程．
解答：解：（1）∵F₁，F₂，P（0，2b）構成正三角形，∴，
即有3c²=4（c²-a²），則；
（2）∵雙曲線（a＞0，b＞0）的離心率，∴c²=4a²，
∵c²=a²+b，∴b²=3a²，∴雙曲線方程變為，
∵雙曲線經過點Q（4，6），∴，
∴a²=4，則雙曲線方程為．
點評：本題考查雙曲線的標準方程與幾何性質，考查學生的計算能力，屬于基礎題．