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已知：F₁和F₂為雙曲線 $數學公式$ - $數學公式$ =1（a＞0，b＞0）的兩個焦點，F₁，F₂，P（0，2b）是正三角形的三個頂點，
（1）求：雙曲線的離心率；
（2）若雙曲線經過點Q（4，6），求：雙曲線的方程．

解：（1）∵F₁，F₂，P（0，2b）構成正三角形，∴ $\text{[math]}$ ，
即有3c²=4（c²-a²），則 $\text{[math]}$ ；
（2）∵雙曲線 $\text{[math]}$ （a＞0，b＞0）的離心率 $\text{[math]}$ ，∴c²=4a²，
∵c²=a²+b，∴b²=3a²，∴雙曲線方程變為 $\text{[math]}$ ，
∵雙曲線經過點Q（4，6），∴ $\text{[math]}$ ，
∴a²=4，則雙曲線方程為 $\text{[math]}$ ．
分析：（1）利用F₁，F₂，P（0，2b）構成正三角形，可得幾何量之間的關系，即可求雙曲線的離心率；
（2）利用離心率化簡雙曲線的方程，代入點的坐標，即可求得雙曲線的方程．
點評：本題考查雙曲線的標準方程與幾何性質，考查學生的計算能力，屬于基礎題．

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已知：F₁和F₂為雙曲線

=1（a＞0，b＞0）的兩個焦點，F₁，F₂，P（0，2b）是正三角形的三個頂點，
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=1（b＞0）的左、右焦點，過F₂作垂直于x軸的直線，在x軸上方交雙曲線于點M，且∠MF₁F₂=30°，圓O的方程為x²+y²=b²．
（1）求雙曲線C的方程；
（2）過圓O上任意一點Q（x₀，y₀）作切線l交雙曲線C于A，B兩個不同點，AB中點為M，求證：|AB|=2|OM|；
（3）過雙曲線C上一點P作兩條漸近線的垂線，垂足分別是P₁和P₂，求

PP1

•

PP2

的值．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

已知：F₁和F₂為雙曲線