Question

7名師生站成一排照相留念，其中老師1人，男生4人，女生2人，在下列情況下，各有不同站法多少種？（寫出必要的解答過程）
（1）兩個女生必須相鄰而站；
（2）4名男生互不相鄰；
（3）若4名男生身高都不等，按從左向右身高依次遞減的順序站；
（4）老師不站中間，女生不站兩端．

Answer 1

分析：（1）根據題意，把兩個女生看做一個元素，注意考慮其間順序，再將6個元素進行全排列，由分步計數原理計算可得答案，
（2）根據題意，4名男生互不相鄰，應用插空法，要老師和女生先排列，形成四個空再排男生，由分步計數原理計算可得答案，
（3）根據題意，先在7個空位中任選3個安排老師和女生，因男生受身高排序的限制，只有1種站法，由分步計數原理計算可得答案，
（4）根據題意，分2種情況討論，①、老師在兩端，②、老師不在兩端，利用排列、組合公式可得每種情況的站法數目，進而由分類計數原理將其相加即可得答案．

解答：解：（1）根據題意兩個女生必須相鄰而站，把兩個女生看做一個元素，兩個女生之間有A₂²種順序，
將6個元素進行全排列，有A₆⁶種情況，
則共有A₆⁶A₂²=1440種不同站法；
（2）根據題意，先將老師和女生先排列，有A₃³種情況，
排好后形成四個空位，將4名男生插入，有A₄⁴種情況，
共有A₃³A₄⁴=144種不同站法；
（3）根據題意，先安排老師和女生，在7個空位中任選3個即可，有A₇³種情況，
若4名男生身高都不等，按從左向右身高依次遞減的順序站，
則男生的順序只有一個，將4人排在剩余的4個空位上即可，有1種情況，
則共有1×A₇³=210種不同站法；
（4）根據題意，分2種情況討論：
①、老師在兩端，則老師有2種站法，女生可以站中間的5個位置，有A₅²種站法，男生站剩余的4個位置，有A₄⁴種站法，
此時有2×A₅²×A₄⁴=960種不同站法，
②、老師不在兩端，則老師有4種站法，中間還有4個位置可站女生，女生有A₄²種站法，男生站剩余的4個位置，有A₄⁴種站法，
此時共有4×A₄²×A₄⁴=1152種不同站法，
則老師不站中間，女生不站兩端共有960+1152=2112種不同站法．

點評：本題考查排列、組合的應用，注意特殊問題的處理方法，如相鄰用捆綁法，不能相鄰用插空法．