Question

已知拋物線y²=4x的焦點為F，準線為l，l與雙曲線

x2

a2

-y2=1(a＞0)交于A，B兩點，若△FAB為直角三角形，則雙曲線的離心率是（　　）

• A、

  3

• B、

  6

• C、2
• D、

  2

  +1

Answer 1

分析：依題意，可求得物線的準線方程與焦點的坐標，從而可求得點A，B的坐標，利用

FA

•

FB

=0可求得a²的值，從而可求得雙曲線的離心率．

解答：由拋物線y²=4x得：拋物線的準線方程為x=-1，拋物線的焦點F的坐標是（1，0）．
令

x2

a2

-y²=1中的x=-1，得：

1

a2

-y²=1，
∴y²=

1

a2

-1
∴y=

1 a2 -1

，或y=-

1 a2 -1

．
∴A、B的坐標分別是（-1，-

1 a2 -1

）、（-1，

1 a2 -1

）．
∴向量

FA

=（-2，-

1 a2 -1

），向量

FB

=（-2，

1 a2 -1

）．
∵△FAB是Rt△，顯然有：|

FA

|=|

FB

|，

FA

•

FB

=0，
∴4-（

1

a2

-1）=0
∴a²=

1

5

，
∴c²=

1

5

+1=

6

5

．
∴e²=

c2

a2

=6，
∴e=

6

．
∴雙曲線的離心率是

6

．
故選B．

點評：本題考查雙曲線與拋物線的簡單性質，求得點A，B的坐標，利用

FA

•

FB

=0求得a²的值是關鍵，也是難點，屬于難題．