Question

數列{a_n}滿足a₁=2，an+1=

2n+1an

(n+ 1 2 )an+2n

(n∈N*)．
（1）設bn=

2n

an

，求數列{b_n}的通項公式；
（2）設cn=

1

n(n+1)an+1

，數列{c_n}的前n項和為S_n，求出S_n并由此證明：

5

16

≤Sn＜

1

2

．

Answer 1

分析：（1）利用數列遞推式，結合條件，可得b_n+1-b_n=n+

1

2

，利用疊加法，可求數列{b_n}的通項公式；
（2）確定數列的通項，利用疊加法求和，利用數列的單調性，即可得到結論．

解答：解：（1）∵an+1=

2n+1an

(n+ 1 2 )an+2n

(n∈N*)，
∴

2n+1

an+1

-

2n

an

=n+

1

2

∵bn=

2n

an

∴b_n+1-b_n=n+

1

2

∴b_n=b₁+（b₂-b₁）+…+（b_n-b_n-1）=b1+

n2-1

2

∵bn=

2n

an

，a₁=2，
∴b₁=1
∴b_n=

n2+1

2

；
（2）由（1）知，a_n=

2n+1

n2+1

，∴an+1=

2n+2

(n+1)2+1

，
∴cn=

1

n(n+1)an+1

=

1

2

[

1

2n+1

+

1

n×2n

-

1

(n+1)×2n+1

]
∴S_n=

1

2

×

1 22 (1- 1 2n )

1- 1 2

+

1

2

[

1

2

-

1

(n+1)×2n+1

]=

1

2

[1-(

1

2

)n+1×

n+2

n+1

]
∵(

1

2

)n+1×

n+2

n+1

=(

1

2

)n+1×(1+

1

n+1

)得到遞減，
∴(

1

2

)n+1×

n+2

n+1

≤(

1

2

)1+1×

1+2

1+1

=

3

8

∴

5

16

≤

1

2

[1-(

1

2

)n+1×

n+2

n+1

]＜

1

2

，即

5

16

≤Sn＜

1

2

．

點評：本題考查數列的通項與求和，考查疊加法的運用，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．