Question

數列{a_n}滿足a₁=2，a_n+1=（λ-3）a_n+2ⁿ，（n=1，2，3…）
（Ⅰ） 當a₂=-1時，求λ及a₃；
（Ⅱ）是否存在實數λ，使得數列{a_n}為等差數列或等比數列？若存在，求出其通項公式，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）將a₂=-1 代入a_n+1=（λ-3）a_n+2ⁿ，解關于的方程求出λ，繼而求出a₃．
（Ⅱ）先通過特殊方法，得到λ的可能值，再進一步結合等差數列，等比數列定義進行驗證．

解答：解：（Ⅰ）∵a₁=2，a₂=-1，a₂=（λ-3）a₁+2，（n=1，2，3…）∴λ=

3

2

，故a3=-

3

2

a2+22，所以a3=

11

2

．
（Ⅱ）∵a₁=2，a_n+1=（λ-3）a_n+2ⁿ，∴a₂=（λ-3）a₁+2=2λ-4，a₃=（λ-3）a₂+4=2λ²-10λ+16，
若數列{a_n}為等差數列，則a₁+a₃=2a₂∴λ²-7λ+13=0∵△=49-4×13＜0∴方程沒有實根，故不存在λ，使得數列{a_n}為等差數列．
若數列{a_n}為等比數列，則a₁•a₃=a₂²，即2（2λ²-10λ+16）=（2λ-4）²
解得：λ=4．∴a_n+1=a_n+2ⁿ

∴a2-a1=2 a3-a2=22 a4-a3=23 … an-an-1=2n-1

將n-1個式子相加，a_n-a₁=2+2²+…+2^n-1，∴an=2+

2(1-2n-1)

1-2

=2n（n≥2，n∈N）
又n=1，a₁=2符合條件，∴a_n=2ⁿ（n∈N^*）∴

an+1

an

=

2n+1

2n

=2，故數列{a_n}為等比數列．通項公式為a_n=2ⁿ

點評：本題給出的是數列a_n+1與a_n兩項之間的遞推形式．在第二問中，通過特殊方法，得到λ的值，要注意引導學生理解結果并非充要條件，而是必要不充分條件，所以需要進一步的驗證，而且在驗證過程中，使用了疊加法，可以為學生說明其結構形式和解題策略要讓學生掌握歸納的思想，學會從特殊到一般的思考數學問題的思維過程．